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\title{Extremums : Existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.}
\date{\today}
\author{\textit{Vidal Agniel} \\ \textit{\'Ecole normale supérieure de Rennes}}

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\begin{document}

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\newtheorem{lemma}{Lemme}[section]
\newtheorem{propri}{Propriété}[section]
\newtheorem{remarque}{Remarque}[section]



\section*{Leçon 219 - Extremums : Existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.}
Ici, on se donne $f : E\to \R$ avec E un $\R$-ev normé. On cherche à minimiser/maximiser f sur une partie C de E. Quitte à regarder -f, on peut parfois ne regarder que les minima.
\subsection{Existence et unicité d'un minimum}
$ $
\\
\noindent Def : Minimum/maximum local/global/strict de $f:C \to \R$.
\subsubsection{Compacité et coercivité}
\begin{itemize}
	\item Thm : Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
	\item App : Pour C un compact de E et F un fermé de E disjoint de C, la fonction $x \in \C \mapsto d(x,F)$ atteint son minimum $d(C,F)$.
	\item Def : Coercivité : Pour C non-bornée, $f:C \to \R$ est coercive si $f(x) \to_{\|x\| to +\infty} +\infty$.
	\item Ex : Toute norme sur E est coercive.
	\item Contre-ex : Une forme linéaire n'est pas coercive.
	\item Pro : Si $C \subset \R^n$ est fermé et non-borné, alors toute $f : C \to \R$ continue et coercive atteint son minimum.
	\item App : Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
	\item Pro : Si C est un espace métrique complet et $f:C \to \R$ est continue et coercive, alors f atteint son minimum dans C.
\end{itemize}
\subsubsection{Convexité}
\begin{itemize}
	\item Pro : La somme de fonct convexes est convexe, la limite simple aussi.
	\item Thm : En dimension finie, si f est convexe alors f est continue.
	\item Ex : $f(x)=<Ax,x>$ est convexe ssi A symétrique positive, et fortement convexe ssi A symétrique définie positive.
	\item Ex : Les normes sur E sont convexes. 
	\item Pro : Si f est convexe, tout minimum local est global.
	\item Pro : Si f admet des extrema et est strictement convexe, alors elle a un unique minimum.
	\item Pro : Si f est strictement convexe et continue, alors elle est coercive et admet un unique minimum. \\
	En dimension finie, ce minimum est toujours atteint.
\end{itemize}
\subsubsection{Extremum sur un Hilbert}
\begin{itemize}
	\item Théorème de projection sur un convexe fermé : Soit C un convexe fermé. Alors pour tout $x \in E$ il existe un unique $p(x) \in C$ tel que pour tout $y \in C$ on ait : $<x-y,p(x)-y> \leq 0$. \\
	Le projeté minimise aussi la distance : $\|x-p(x)\|=d(x,C)$.
	\item Pro : On a $|p(x)-p(y)| \leq |x-y|$. L'application de projection est 1-Lipschitzienne, donc continue sur E.
	\item Pro : Si C est un s-ev fermé, alors p est linéaire, donc linéaire continue.
	\item Cor : Pour F un s-ev de E, $E=\overline{F}\oplus F^{\bot}$.
	\item Théorème de Stampacchia : Soit H un Hilbert et K convexe fermé non vide. Soit $a: H \times H \to \R$ forme bilinéaire continue, tq $|a(u,u)| \geq c \|u\|^2$ pour un $c >0$. \\
	Alors pour toute $L \in H^*$ il existe un unique $u \in K$ tq : $\forall v \in K$, $a(u,v-u) \geq L(v-u)$. \\
	Si de plus a est symétrique, alors u est l'unique élément de K minimisant la fonctionnelle $v \mapsto \frac{1}{2}a(v,v)-L(v)$.
	\item Théorème de Lax-Milgram et son EDP dans $H_0^1$.
	\item \textbf{Dev} : Optimisation dans un Hilbert : Soit H un espace de Hilbert et $f:H \to \R$ une fonction continue, coercive, et convexe. Alors f atteint son minimum dans H. \\
	De plus, pour une suite $(a_n)_n$ telle que $f(a_n) \to inf(f)$, $(a_n)_n$ possède des valeurs d'adhérence pour la convergence faible, et une telle valeur d'adhérence $\alpha$ vérifie $f(\alpha)=inf(f)$.
	\item Rem : L'existence de valeur d'adhérence faibles de suites minimisantes, et leur propriété de minimisation, permet l'étude de solutions faibles d'équations différentielles dans des espaces de Hilberts comme les espaces de Sobolev.
\end{itemize}
\subsubsection{Extremum d'une fonction holomorphe}
\begin{itemize}
	\item On suppose pour cette partie que $E=\C$ et que f est holomorphe sur $\Omega \in \C$, avec $\Omega$ connexe.
	\item Thm : Propriété de la valeur moyenne $\forall B(z,r) \subset \Omega$ on a : $f(z)=\int_0^{2\pi} f(z+re^{it})dt$.
	\item Théorème : Une fonction est holomorphe sur $\Omega$ ssi elle vérifie la propriété de la valeur moyenne pour tout $B(z,r) \subset \Omega$.
	\item Principe du maximum : Une fonction holomorphe qui atteint son maximum en module dans $\Omega$ est constante.
	\item Cor : Une fonction holomorphe ne s'annulant pas qui atteint son minimum en module dans $\Omega$ est constante.
	\item Cor : Si $|f|$ admet un minimum local sur $\Omega$, alors il est nul.
	\item App : Théorème de d'Alembert-Gauss : Tout polynôme à coefficients complexes de degré $n \geq 1$ possède une racine dans $\C$.
\end{itemize}
\subsection{Caractérisation et propriétés d'un extremum local}
\subsubsection{Conditions d'optimalité du premier ordre}
\begin{itemize}
	\item Def : Condition du premier ordre.
	\item Def : Point critique
	\item Contre-ex : $x^3$ dont la dérivée et la dérivée seconde s'annulent en 0 mais qui n'a pas de minimum en 0.
	\item Théorème de Rolle : Pour f continue sur $[a,b]$, de classe $C^1$ sur $]a,b[$, avec $f(a)=f(b)=0$, on a $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
	\item Théorème de Darboux : Pour f dérivable sur $I$ un intervalle, $f'(I)$ est un intervalle.
	\item Rem : Ces deux théorèmes permettent de chercher les points critiques.
	\item Suite du point de Fermat.
\end{itemize}
\subsubsection{Conditions d'optimalité du second ordre}
\begin{itemize}
	\item Def : Conditions du second ordre.
	\item Contre-ex : $x^2-y^3$, $x^2+y^4$.
	\item Rem : Ces conditions correpondent à la forte convexité de f.
	\item Lemme de Morse : Soit U un ouvert de $\R^n$ et $f : U \to \R$ de classe $C^3$. Soit $x \in U$ tq $D_x(f) = 0$, et tq $D_x^2(f)$ soit non-dégénérée de signature (p,q). \\
	Alors il existe un voisinage V de x, W un voisinage de 0, et $g : V \to W$ un $C^1$-difféomorphisme tel que $\forall y \in W$, $f(g^{-1}(y)) = f(x) + y_1^2+\dots+y_p^2 - (y_{p+1}^2+\dots+y_{p+q}^2)$.
	\item App : Si on a un point critique x en lequel la hessienne de f est non-dégénérée, alors c'est un minimum ssi la hessienne est de signature (n,0), et c'est un maximum ssi la hessienne est de signature (0,n).\\
	Si la hessienne est de signature (p,n-p) avec $p(n-p) \neq 0$, alors on aura des directions e pour lesquelles x sera un minimum local de $h \in \R \mapsto f(x+he)$ et d'autres pour lesquelles x sera un maximum local de $h \in \R \mapsto f(x+he)$.
	\item App : Cas $n=2$. On regarde le signe $Tr(A)=r+t$ et $det(A)=rt-s^2$ pour déterminer la signature de A. Si $rt-s^2 >0$ et $r+t >0$, alors la signature est (2,0). Si $rt-s^2 >0$ et $r+t <0$, alors la signature est (0,2). Si $rt-s^2 <0$ , alors la signature est (1,1).
\end{itemize}
\subsubsection{Conditions d'optimalité sous contraintes}
\begin{itemize}
	\item Théorème des extrema liés.
	\item App : Démonstration de l'inégalité arithmético-géométrique.
	\item App : Emballage optimal d'une boîte.
	\item App : Application à la diagonalisation des endomorphismes symétriques.
	\item App : Inégalité de Hadamard.
\end{itemize}
\subsection{Recherche numérique}
\subsubsection{Méthode de Newton}
\begin{itemize}
	\item Def+Pro : On dit que $u_n$ converge quadratiquement vers s ssi il existe $0<M<min(1,\frac{1}{|u_0-s|})$ tel que $|u_{n+1}-s|\leq M.|u_n-s|^2$. \\
	On a alors $|u_n-s|\leq \frac{M^{2^{n+1}}}{M}.|u_0-s|^{2^n} \leq M^{2^n} \frac{(M|u_0-s|)^{2^n}}{M}$.
	\item \textbf{Dev} : Méthode de Newton polynomiale : Pour P un polynôme réel à racines réelles simples $\lambda_1 <\dots<\lambda_r$, la fonction $\Phi : x \in [\lambda_r,+\infty[ \mapsto x-\frac{P(x)}{P'(x)} \in [\lambda_r,+\infty[$ est bien définie. \\
	Pour tout $x_0 \in [\lambda_r,+\infty[$, la suite récurrente définie par $x_{n+1}=\Phi(x_n)$ converge linéairement vers $\lambda_r$ et quadratiquement àpcr.
	\item App : Cela permet d'approcher rapidement des zéros de polynômes comme $x^2-a$. Si P est un polynôme à coefficients rationnels, alors $x_n \in \Q$.
	\item Rem : La méthode de Newton peut être appliquée à des fonctions $\p : U \to \R^n$ avec U ouvert de $\R^n$ pour lesquelles on a $x \in U$ tel que $\p(x)=0$, $\p$ est de classe $C^2$ sur U, et $D(\p)_x$ inversible. \\
	Il existe alors un voisinage V de x sur lequel $\Phi : x \in V \mapsto x -(D(\p)_x)^{-1}(\p(x)) \in V$ est bien définie, et pour tout $u_0 \in V$, $u_{n+1}=\Phi(u_n)$ va converger quadratiquement vers x.
	\item Rem : Dans le cas réel avec $U = ]a,b[$, on a des cas particuliers où le voisinage V est d'une forme plus commode.
	\item Rem : Cela permet d'approcher des points fixes répulsifs.
\end{itemize}
\subsubsection{Méthodes de gradient}
\begin{itemize}
	\item But : On remplace la recherche de la solution à $Ax=b$ par la recherche d'un minimum local à la fonction $<Ax,x> - <b,x>$, pour $A \in S_n^{++}(\R)$.
	\item Lemme de Kantorovich
	\item Méthode du Gradient à pas optimal
	\item Rem : On a aussi la méthode du gradient à pas conjugué.
\end{itemize}



\textbf{Références}


\noindent 
Rouvière : Coercivité. Problème des moindres carrés. Suite du point de Fermat. Lemme de Morse. \\
Objectif Agrégation : Convexité. Appli du th des extrema liés. Formule de la moyenne, principe du maximum. Conditions du premier ordre, exemples. Conditions du second ordre. Méthodes de descente. Méthode de Newton polynomiale. (Dev) \\
Lafontaine : Immersion,submersion. Sous-variétés, vecteurs tangents, espaces tangents. \\
Gourdon : Continue sur un compact, applications. Th de Rolle, Th de Darboux. Th des extrema liés. \\
Pommellet : Polynôme de meilleure approximation. \\
Ciarlet : Optimisation dans un Hilbert. (Dev) \\
Rombaldi : Convexité. \\
Amar, Matheron : Formule de la moyenne, principe du maximum.  \\
Brézis : Projection sur un convexe fermé, Stampacchia, Lax-Milgram + EDP. \\
Hiriart-Urruty : Gradient à pas optimal.





	
\end{document}